LIGO-Virgo引力波短时信号提取指引

简介

引力波探测是探索宇宙奥秘的重要途径，在这个领域LIGO和Virgo(VGO)两个合作组织(LIGO Scientific Collaboration and the Virgo Collaboration, LVC) ，从代号为GW150914的黑洞合并事件开始，完成了一系列事件的探测。全球的引力波探测器包含位于美国的两个LIGO设备，一个位于意大利的Virgo设备，以及位于德国、日本、印度等国家的设备。

现今为止，LIGO探测器有O1，O2，O3三轮观测，其中Virgo探测器在O2时候加入探测，并与LIGO探测器一同进行O3的探测。多个探测器协同观测，可以有效地过滤掉设备噪音，并进行协同分析。LIGO-Virgo探测的数据通过引力波开放科学中心(Gravitational-Wave Open Science Center, GWOSC)延时数月公布，供全球的研究者共同研究。

LIGO-Virgo数据的特性

LIGO-Virgo探测器本质上都是大型的迈克尔逊干涉仪(Michelson interferometers)，当引力波通过探测器，导致探测器臂长发生改变，而两个臂长的长度差异进而体现在探测器的输出数据上。探测器的实际输出(interferometer photodiode output)经过一系列标准化的程序，最终生成时序的引力波数据(gravitational-wave strain data)。对于LIGO来说，最终数据采样率16384Hz，而对于Virgo探测器，最终采样率20kHz。而处理程序也都存在一个有效频率(validity range)的东西，这里就不赘述了。

在这些探测器里面，还有一些辅助通道(auxiliary channels)，这些通道中的时序数据，记录了探测器、周围环境中的一些辅助信息，这些数据通过GWOSC的处理，刻画了包括噪声源的若干数据，并且其中由于仪器故障、调试导致的数据错误亦都有所标注。

检测器噪音的特征

LIGO-Virgo仪器的生成数据事实上包含了很多种噪音，包括——

量子传感噪音(quantum sensing noise)
地质运动噪音(seismic noise)
热力学波动噪音(suspension thermal noise)
反射镜热力学噪音(mirror coating thermal noise)
重力梯度噪音(gravity gradient noise)

在此之外，还包含部分人为噪音、天气噪音、仪器检修故障以及未知的噪声源。

下面，我们从数学得到角度，形式化的定义一下检测器的噪音输出——

我们在一个时间窗口中探究探测器的噪音，令探测器输出为 $n(t)$ 为一个向量， $n_i = n(t_i)$ 表示时刻 $t_i$ 的输出值。可以发现，探测器的输出实际上是被噪音主导的，而我们可以将噪音理解为若干个高斯分布的分量的组合。

对于探测器输出 $n$ 来说，我们可以将其看做一个随机过程的样本，而这个随机过程本身可以用其概率密度函数 $p(n)$ 描述。而 $p(n)$ 本身又可以分解为均值矩阵 $\mu = E[n]$ 以及协方差矩阵 $C_{ij} = E[(n_i - \mu)(n_j - \mu)]$

当然，对于参数估计来说，我们有如下公式——

$\hat{\mu} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} n_i$

$\hat{C_{ij}} = \frac{1}{M-1} (n_i - \hat{\mu})(n_j - \hat{\mu})$

有了上面的定义，我们可以通过高维正态分布的公式获得概率密度函数 $p(n)$

$p(n) = \frac{1}{det(2\pi C)^{1/2}} exp\left[-\frac{1}{2}\sum_{ij} (n_i-\mu)(n_j-\mu)C^{-1}_{ij}\right]$

我们发现，当我们将所有数据看做一个样本的话，那么 $N$ 足够大，而 $M=1$ ，以致于我们甚至无法定义有效的 $\hat{C}$ ，这个问题我们可以加入一个“噪音为稳定(stationary)的”这个限制条件来解决。

一个噪音稳定当且仅当 $C_{ij}$ 只与时间间隔 $|i-j|$ 有关。稳定噪音可以使用相关性矩阵 $C(\tau)$ 描述，其中 $\tau$ 为时间间隔。当然，既然这个过程和波有关，人们习惯上都会为了降低复杂性，将它变换到傅里叶空间中，自此，我们将 $i,j$ 修改为频域 $f_i, f_j$ ，将稳定噪音的相关性矩阵设置为 $C_{ij} = \delta_{ij}S_n{f_i}$ ，而这里面的 $S_n{f_i}$ 就是功率谱(power spectral density)函数。而振幅谱(Amplitude spectral density)函数则是功率谱函数的平方根，以 $Hz^{-1/2}$ 为单位。

在上面的定义中，如果 $C_{ij} = \delta_{ij}\sigma^2$ ，那么噪音为白噪声，毕竟每一个时间分量独立且方差皆为 $\sigma^2$ 。白噪声是LIGO-Virgo探测器噪声的一个不那么准确的近似。

LIGO-Virgo探测器输出数据，在时域和频域上面，都有非常显著的结构特征。而就引力波事件GW170817分析，噪音几乎主导了数据信噪比。这使得对噪音的分析正确与否直接决定了检测的正确性。

使用傅里叶变换进行噪音分析

由于对于噪声稳定的假设，噪声在每一个频率区间是假设独立的。对于大部分LVC分析来说，都首先使用FFT将数据进行一次变换。由于FFT假设数据是循环的，我们需要使用窗函数对FFT后数据的频域进行修正，这里我们使用土耳其窗(Turkey-Window)函数进行修正。

接下来，我们将FFT后的频谱强度除以噪声的频谱强度，进行标准化，以便让噪声强的区域和噪声弱的区域拥有近似相等的影响度。在可视化的时候，数据还要额外经过一个[35Hz, 350Hz]的滤波器，以过滤区间外的噪音，人为保留重要的区间供研究人员观察。

$d(t) \xrightarrow{FFT} \bar{d}(f(t)) \xrightarrow{Whiten} \bar{d}(f) = \frac{\bar{d}(f)}{S_n^{1/2} (f)} \xrightarrow{iFFT} d_w(t)$

噪声频谱强度 $S_n(f)$ 我们事先并不知道，需要从数据本身估计出来。一般来说，我们可以在待检测信号周围取一个足够大的时间范围，并使用该范围内的数据流进行计算。不过这样的计算有一个问题，就是对于每一个频率，只会算出一个复数（实部+虚部）强度。因此，对于不同的频率位置，估计值的偏差会比较大。

对于上述问题，有两种可能的解决办法：1)应用某种平均的方法降低误差；2)使用某种物理学中更加准确的算法，如Welch方法。

上图是一个信号序列，一次经过一个Tukey窗函数，除以噪声强度谱，并经过[35Hz, 350Hz]的滤波器后，揭露了引力波信号GW150914的存在。

参考文献：A guide to LIGO-Virgo detector noise and extraction of transient gravitational-wave signals

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使用傅里叶变换进行噪音分析

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