真实感图像渲染系列：贝塞尔曲线旋转体与直线求交

概述

贝塞尔曲线是一个由多个控制点组合而成的曲线。在本文探讨的贝塞尔曲线，是由多条简单的4阶贝塞尔曲线拼接而成。绕z轴旋转贝塞尔曲线，我们可以得到一个旋转体曲面，该曲面就是待渲染的参数曲面。本文将探讨如何使用牛顿迭代法与直线求交。求交过程中

关于迭代初值的求法
迭代中的一些优化技巧
关于浮点数精度误差eps的求法。

贝塞尔曲线的定义

贝塞尔曲线是一个由多个控制点组合而成的曲线，n阶贝塞尔曲线定义为

(1) $\begin{equation*} P(u) = \left[ \begin{matrix}P^{(x)}(u) \\ P^{(y)}(u) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \sum _{i=0}^n P_i^{(x)} C(n,i) (1-u)^{n-i}u^i \\ \sum _{i=0}^n P_i^{(y)}C(n,i) (1-u)^{n-i}u^i \end{matrix} \right] \end{equation*}$

式(1)定义了该曲线 $P(u)$ 的关于参数 $u \in [0,1]$ 的参数方程，其中 $P_i$ 为n个曲线的控制点。当我看到这个公式的时候，整个人都已经懵掉了。实际上理解起来并不复杂。

函数 $P(u)$ 由参数 $u$ 定义了一个二维向量，其中 $P^{(x)}$ 与 $P^{(y)}$ 相互独立。只需要理解其中一个的产生式即可。考虑函数 $f_i(u) =C(n,i) u^i (1-u)^{n-i-1}$ ，发现这 $f_0(u),f_1(i),\cdots,f_{n-1}(u)$ 实际上是一个和为1的数列，数列在杨辉三角形中定义。换句话来说， $f_i(u)$ 实际上可以得到一个权值的分配，使用 $f_i(u)$ 对于所有的控制点 $P_i$ 加权平均，就是贝塞尔曲线尝试完成的事情。当 $f_0(u) = C(n,0) u^0 (1-u)^{n-i} = 1$ 权值全部分配给了 $P_0$ ，因此贝塞尔曲线的起点( $u=0$ )和 $P_0$ 重合。

贝塞尔曲线旋转体

在三维空间中，我们通过旋转贝塞尔曲线得到一个曲面。曲面强制对z轴旋转对称。（注：在代码中是对x轴旋转对称，不过z轴对称相对好理解一些）。

(2) $\begin{equation*} S(u,\theta) = \left[ \begin{matrix} Q_x + sin\theta P^{(x)}(u) \\ Q_y + cos\theta P^{(x)}(u) \\ Q_z + P^{(y)}(u) \end{matrix} \right] \end{equation*}$

一个贝塞尔曲线旋转体要能够成功渲染，其核心就是需要支持与光线的求交。光线我们使用 $(rayO,rayD)$ 表示， $rayO$ 表示光线起点， $rayD$ 表示光线方向，是一个单位向量。则光线上一点可表示为 $C(t)$ ，满足：

(3) $\begin{equation*} C(t) = rayO + t \times rayD \end{equation*}$

倘若直线 $C(t)$ 与 $S(u,\theta)$ 相交，则有

(4) $\begin{equation*} F(t,u,\theta) = C(t) - S(u,\theta) = 0 \end{equation*}$

其中, $F(t,u,\theta)$ 为 $t,u,\theta$ 的函数，要求 $t>0$ 且 $0\leq u \leq 1$ ，原问题可转化为求函数零点问题。函数零点问题使用牛顿迭代解决。

(5) $\begin{equation*} x_{i+1} = x_i - [F'(x_i)]^{-1} \cdot F(x_i) \end{equation*}$

其中 $F'(x_i)$ 为函数 $F(x_i)$ 的Jacobian矩阵，定义为：

(6) $\begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial t} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial F_1}{\partial t} & \frac{\partial F_1}{\partial u} & \frac{\partial F_1}{\partial \theta} \\ \frac{\partial F_2}{\partial t} & \frac{\partial F_2}{\partial u} & \frac{\partial F_2}{\partial \theta} \\ \frac{\partial F_3}{\partial t} & \frac{\partial F_3}{\partial u} & \frac{\partial F_3}{\partial \theta} \\ \end{matrix} \right] \end{equation*}$

要试图计算出式(\ref(eq:jacobian))，我们需要分别求出 $F(t,u,\theta)$ 对于 $t,u,\theta$ 偏导数的每一个分量的值（共九个）。结果为：

(7) $\begin{equation*} \frac{\partial F}{\partial args} = \left[ \begin{matrix} rayD_x & -sin\theta \frac{dP_x}{du} & -cos\theta P_x(u)\\ rayD_y & -cos\theta \frac{dP_x}{du} & +sin\theta P_x(u)\\ rayD_z & -\frac{dP_y}{du} & 0\\ \end{matrix} \right] \end{equation*}$

其中 $\frac{dP}{du}$ 是对于式子(1)按照最原始的求导法则求导的结果。

贝塞尔曲面物体设计

如图

共6条4阶贝塞尔曲线，每一条由绿蓝红绿四个控制点定义。

注意事项

牛顿迭代需要保证答案中 $u \in [0,1]$ ，而牛顿迭代本身无法附加条件，因此需要在答案的邻域中查找合适的 $u$ , $t$ , $\theta$ ，我用到的方法是，对于给定曲线，生成一个圆柱体包含框，随机该圆柱体里面高度 $h$ 的一个圆形面片，将光线与该面片的交点的 $u$ , $t$ , $\theta$ 作为迭代的初值。随机 $h$ 约30次即可得解。
由于牛顿迭代不太精确，可能是的结果产生微小偏移，这种偏移会对判断点在平面哪一侧产生影响，我们可以通过调整eps的取值，不同部分赋予不同的eps，使得这些误差不至于相互影响。
贝塞尔曲线求交本身费时间，但是判断是否一定没有交点却相对简单。可以求出贝塞尔曲线旋转体的“圆柱体包围盒”，（更精确的话，可以是空心圆柱体包围盒）。然后判断直线是否与包围盒有交点。判断直线与圆柱交点 $P = rayO + k \times rayD$ 的位置，可以先讲所有东西映射到 $z=0$ 屏幕，这是变成2维直线和圆求交，算出 $k$ ，回带到三维情况验证。
实际上，像本文采用的多条低阶贝塞尔曲线求交并不明智，倘若将本文那个碗的6条贝塞尔曲线改为1条简单一些的曲线，然后做一个玻璃杯什么的，渲染效率将提高6倍！

概述

贝塞尔曲线的定义

贝塞尔曲线旋转体

贝塞尔曲面物体设计

注意事项

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